یک فرمول‌بندی جدید مکانیک آماریِ مواد دانه‌ای، با تابعی مرتبط با ساختار ماده، جانشینِ حجم ماده دانه‌ای می‌شود.

زمانی که فیزیک‌پیشگان با دستگاهی که از تعداد زیادی اجسام گسسته و برهم‌کنش کننده تشکیل شده، مواجه می‌شوند، به طور غریزی از مکانیک آماری کمک می‌جویند. این روش در مواجهه با مواد دانه‌ای نیز، مانند شن، شکر یا آرد، مستثنا نبوده است. اما این مواد دارای برخی ویژگی‌ها هستند- مثلاً ذاتاً پراکنده هستند- که مفاهیم کلیدی مکانیک آماری، مانند تعادل حرارتی، را غیر قابل استفاده می‌کنند. بنابراین برای استفاده از مکانیک آماری، نیاز است برخی مفاهیم بنیادی تغییر داده شوند و یا از نو تعریف شوند. اما هیچ‌کس نمی‌داند چگونه این کار را به شکلی انجام دهد که به یک نظریه شفاف، عمومی و قدرتمند بیانجامد.

تصویر 1: بلومِنفِلد و همکاران، روشی را به دست آورده‌اند که با آن حجم پکیدگی‌های دانه‌ای [granular packings] را بر اساس بردارها (به رنگ زرد و قرمز) محاسبه می‌کنند. بردارها نزدیک‌ترین نقاط تماس‌ دانه‌ها (به رنگ سبز) را متصل می‌کنند، در جهت ساعتگرد می‌گردند، و پیکربندی پکیدگی‌ها را کدگذاری می‌کنند. برای تعریف این بردارها نیاز به تنها یک انتخاب دل‌به‌خواه است (گردش ساعتگرد یا پادساعتگرد). تقسیم بندی حجم پکیدگی نیاز به انتخاب‌های دل‌به‌خواه بسیار بیشتری دارد زیرا باید تصمیم گرفت که چگونه فضای خالی (آبی رنگ) بین دانه‌ها را تقسیم‌بندی کرد. حجم، تنها به بردارهای بیرونی (زرد رنگ) بستگی دارد. پیشنهاد نویسندگان، اکنون این است که حجم، با کمیتی که به همه‌ی بردارها بستگی دارد جایگزین شود.

با این وجود، طرح‌های پیشنهادی بسیاری وجود دارد. یکی از تاثیرگذارترین این طرح‌ها ابتدا در 1989 توسط سَم ارواردز (Sam Edwards) و همکاران در دانشگاه کمبریج ارائه شد که مکانیک آماری پودرها را مطرح کرد که در آن، حجم، نقش انرژی را ایفا می‌کند. اکنون، رافائل بلومنفلد (Rafael Blumenfeld)– یکی از همکاران سم ادواردز، همچنین در دانشگاه کمبریج (و دیگر موسسه‌ها) – و دیگر همکاران، طرحی داده اند که در آن، طرح ادواردز از نو فرمول‌بندی شده، این بار حجم با تابع دیگری در ارتباط با ساختار پودر جایگزین می‌شود. هنوز خیلی زود است که پیش‌بینی کنیم این طرح پیشنهادی جدید به کجا خواهد رفت، اما یقیناً دارای ویژگی‌های امیدوارکننده‌ای است.

ادواردز اول فکر کرد که برای تشکیل یک توده شن از مجموعه‌ای از دانه‌های شن، راه‌های بسیاری وجود دارد. بعضی از این راه‌ها، منجر به تشکیل توده‌ای متراکم و فشرده، با حجم نسبتاً کوچک می‌شوند، اما برخی دیگر به حجم بزرگ‌تری می‌انجامند. همچنین، راه‌های متعددی برای به دست آوردن حجم یکسان وجود دارند. علاوه بر آن، می‌توان در نظر گرفت که حجم کل برابر است با مجموع حجم‌هایی که هر دانه تسخیر می‌کند. از این رو می‌توانیم فکر کنیم که برای ساختن یک توده شن، می‌توانیم کل حجم را به بخش‌های بسیار تقسیم کرده، سپس این بخش‌ها را بین دانه‌ها توزیع کنیم.

مکانیک آماری همین نگاه را نسبت به انرژی دارد: یک سیستم مکانیکی آماری دارای کل انرژی برابر با U است که بین درجات آزادی میکروسکپی متعددی که سیستم را تشکیل داده‌اند، توزیع شده‌است. این تشابه، ادواردز را تشویق کرد که قدری فراتر رفته، آنتروپی جدید (V(S ، مشابه آنتروپی معمول (U(S، را تعریف کند که برابر است با لوگاریتم مقدار راه‌های ساختن یک توده (مقدار ریزحالات) با حجم کلِ یکسان، V.

او آنگاه، فرمول‌بندی استاندارد مکانیک آماری را الگو قرار داده، کمیتی را تعریف نمود به اسم مقدار فشردگی

X=∂S∕∂V ، که نقش حرارت را در فرمول‌بندی همیشگی T=∂S∕∂U ایفا می‌کند. این کمیت، احتمال این که یک ریز حالت داده شده به وقوع بپیوندد را توسط ضریبی شبیه به ضریب بولتزمن exp(−V)∕𝜆X ، که در آن، λ، ثابتی است که نقش ثابت بولتزمن k را در ضریب بولتزمن e−U∕kT بازی می‌کند، کنترل می‌کند.

با این همه، نظریه ادواردز از این نظر موفق بوده که سوال‌های بسیاری برانگیخته است و روش‌های نویی را برای ترجمه‌ی داده‌ها پیشنهاد می‌کند. و باعث شده است آزمایش‌گرها راه‌های جدیدی برای اندازه‌گیری فشردگی تعبیه کنند. همچنین توزیع حجمی که دانه‌ها اشغال می‌کنند را مورد بررسی دقیق قرار داده‌است. نظریه همچنین این سوال را برمی‌انگیزد که درجات آزادی ابتدایی که برای مشخص کردن یک ساختار دانه‌ای و محاسبه حجم کل آن لازم هستند، کدام‌اند. این درجات آزادی همردیف با مولفه‌های سرعت جهت‌دار مولکول‌ها در یک گاز کامل هستند. رویکرد معمول شامل استفاده از یکی از انواع دیاگرام‌های ورونوی است که فضاهای بین دانه‌ها را به نزدیک‌ترین دانه نسبت می‌دهد. پس حجم‌های دانه‌ها- دانه و فضای خالی مجاور آن- به عنوان حجم‌های ابتدایی در نظر گرفته می‌شوند. حجم کل توده، به همان صورت که توده ساخته شده، محاسبه می‌شود: مجموع حجم های دانه به دانه.

طی سال‌های بسیار، بلومن‌فلد و همکاران‌اش برای محاسبه‌ی حجم رویکرد متفاوتی را دنبال می‌کردند، بر اساس بردارهایی که نقاط تماس بین دانه‌ای را به یکدیگر متصل می‌کردند(تصویر 1). این بردارها همچنین می‌توانند برای تفکیک حجم به کار بروند و اطلاعات ساختاری در باره توده، از قبیل تعداد متوسط نقاط تماس، را کدگذاری کنند. اما همان گونه که نویسندگان در مقاله‌شان اشاره می‌کنند، در نظر گرفتن این بردارها به عنوان درجات آزادی بنیادی برای محاسبه حجم، انسان را به یک تناقض عجیب و غریب می‌رساند: حجم به بیشتر این بردارها بستگی ندارد. واضح است که حجم تنها به بردارهایی که در سطح توده هستند بستگی دارد، زیرا بردارهایی که در داخل قرار دارند می‌توانند به طور تصادفی تغییر داده شوند بدون این که در حجم کل تاثیر بگذارند. پژوهش‌گران نتیجه‌گیری می‌کنند که حجم، کمیت مناسبی برای مکانیک آماری دانه‌ای نیست. در عوض، ما باید مجموع مجذورهای این بردارها را به عنوان یک کمیت در نظر بگیریم.

از نظر ریاضی، این کمیت جدید، که تابع اتصال (connectivity function) نام دارد، شبیه به اشکال بسیاری از انرژی است، زیرا از مجموع مجذورها تشکیل شده‌است. این امر شاید ویژگی‌های مناسب متعددی را به آن بدهد که پیدا کردن وجوه تشابه آن را با شاخه‌های دیگر فیزیک تسهیل بخشد. از سوی دیگر، ارتباط آن با نقاط اتصال به این معناست که اطلاعاتی را در باره این‌ که توده چگونه وزن را تحمل می‌کند، کدگذاری می‌کند. و می‌تواند با انرژی کششی ذخیره شده یا تانسور تنش (کمیتی که چگونگی انتقال نیروها را در ماده توصیف می‌کند)، که هر دو می‌توانند به شکل تابع جمع نقاط اتصال نوشته شوند، مرتبط باشد.

1. S. F. Edwards and R. B. S. Oakeshott, “Theory of Powders,” Physica A 157, 1080 (1989).
2. A. Mehta and S. F. Edwards, “Statistical Mechanics of Powder Mixtures,” Physica A 157, 1091 (1989).
3. R. Blumenfeld, S. Amitai, J. F. Jordan, and R. Hihinashvili, “Failure of the Volume Function in Granular Statistical Mechanics and an Alternative Formulation,” Phys. Rev. Lett. 116, 148001 (2016).
4. F. Paillusson and D. Frenkel, “Probing Ergodicity in Granular Matter,” Phys. Rev. Lett. 109, 208001 (2012).
5. E. R. Nowak, J. B. Knight, E. Ben-Naim, H. M. Jaeger, and S. R. Nagel, “Density Fluctuations in Vibrated Granular Materials,” Phys. Rev. E 57, 1971 (1998).
6. T. Aste and T. Di Matteo, “Emergence of Gamma Distributions in Granular Materials and Packing Models,” Phys. Rev. E 77, 021309 (2008).
7. G. Frenkel, R. Blumenfeld, Z. Grof, and Peter R. King, “Structural Characterization and Statistical Properties of Two-Dimensional Granular Systems,” Phys. Rev. E 77, 041304 (2008).
8. R. Hihinashvili and R. Blumenfeld, “Statistical-Mechanical Characteristics of Dense Planar Granular Systems,” Granular Matter 14, 277 (2012).